Лагранжиан

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод множителей Лагранжа.

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}$ динамической системы, является функцией обобщённых координат ${\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$

где действие — функционал ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}$

а ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),${\displaystyle \ s_{j}}$ обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера – Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения геодезических и проблема Плато.

Через преобразование Лежандра лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы). На гамильтониане основана гамильтонова формулировка классической механики.

Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}$

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ — радиус-вектор частицы, ${\displaystyle m}$ — её масса и ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа будет иметь вид

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,}$

где ${\displaystyle \nabla V}$ — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу ${\displaystyle F}$ в терминах потенциала ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$, тогда мы получим уравнение ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению ${\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}$, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \varphi }$ с лагранжианом

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$

можно получить следующие уравнения Эйлера – Лагранжа:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}$

Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан свободной частицы в теории относительности совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского (то есть со скоростью изменения собственного времени), умноженной на массу частицы ${\displaystyle m}$ и на квадрат скорости света ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

где ${\displaystyle v}$ — обычная трёхмерная скорость частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

• В классической и квантовой теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени

${\displaystyle S=\int {L\,dt},}$

и плотностью лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более многомерному) пространству-времени:

${\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.}$

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

• В последнее время плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные ${\displaystyle {\vec {x}}}$ в индекс ${\displaystyle i}$ или в параметры ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан

В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).

Электростатика

Электростатика — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.

В классической механике лагранжиан есть

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V,}$

где ${\displaystyle T}$ — кинетическая энергия и ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой ${\displaystyle m}$ и зарядом ${\displaystyle q}$, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом ${\displaystyle \varphi \ }$, кинетическая энергия задаётся выражением

${\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

${\displaystyle V=q\varphi \ }$ для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

${\displaystyle V=\int \rho \varphi \ dxdydz}$ — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц, записываясь как:

${\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,}$

где ${\displaystyle \varkappa }$ — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}$

(каждый член его выписан выше).

• Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом, легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho }$

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .}$

Электродинамика

Трёхмерная формулировка

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

${\displaystyle V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$

или

${\displaystyle V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle v}$ — скорость частицы, j — вектор плотности тока, А — векторный потенциал.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля:

${\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}$

где векторы напряжённости электрического поля E и напряжённости магнитного поля H следует считать выраженными через скалярный потенциал ${\displaystyle \varphi }$ и векторный потенциал А:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .}$

Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

${\displaystyle L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}$

или

${\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.}$

Здесь в качестве лагранжиана вещества ${\displaystyle T_{s}}$ можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

${\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля и т. д., что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по φ и по ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}$ (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

${\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}$

где p — (трёхмерный) импульс частицы, ${\displaystyle \mathbf {F} _{L}}$ — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).

Четырёхмерная формулировка

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании системы единиц c = 1):

${\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}$

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

${\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}$

(Член ${\displaystyle L_{s}}$ — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь ${\displaystyle F^{ik}}$ — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), ${\displaystyle A_{i}}$ — 4-потенциал, ${\displaystyle j^{i}}$ — четырёхмерная плотность тока, ${\displaystyle x^{i}}$ — 4-координата точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по ${\displaystyle A_{i}}$ легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

${\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},}$

а варьированием по ${\displaystyle x^{i}}$ — уравнение движения для частицы:

${\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,}$

где ${\displaystyle p_{i}=mu_{i}}$ — 4-импульс, ${\displaystyle u^{k}}$ — 4-скорость.

Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой теории поля (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом () — то есть найдя описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для квантовой электродинамики (КЭД):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle \psi }$ — спинор (четырёхмерный), ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ — его дираковское сопряжение, ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ — тензор электромагнитного поля, D — и ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/\ }$ — обозначение Фейнмана для ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .}$

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/+m_{n})\psi _{n},}$

где ${\displaystyle D_{\mu }}$ — калибровочная ковариантная производная КХД и ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}$ — тензор напряжённости глюонного поля.

Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа

В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является ${\displaystyle det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0}$.

Ссылки

• Christoph Schiller. Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain (2005)
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

Примечания

1. Здесь подразумевается, конечно же, скаляр обычного трёхмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.
2. Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.
3. Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через ${\displaystyle \rho }$, для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через ${\displaystyle q\varphi }$).
4. Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.
5. Quantum Chromodynamics (QCD)  (неопр.). Дата обращения: 21 февраля 2006. Архивировано 9 июля 2011 года.
6. Айзерман М. А. Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165

Литература

Исторические публикации

• Ж. Лагранж. Аналитическая механика. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.

Курсы теоретической физики

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.