Кратчайшая кривая в метрическом пространстве соединяющая две его точки и не превосходящая по длине любую другую кривую с

Кратчайшая — кривая в метрическом пространстве, соединяющая две его точки и не превосходящая по длине любую другую кривую с теми же концами.

Пространство с внутренней метрикой, в котором для любых двух точек существует соединяющая их кратчайшая, называется геодезическим; кратчайшие кривые в нём по определению являются геодезическими.

В полном пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.

Теорема Хопфа — Ринова: в локально компактном пространстве с внутренней метрикой существует кратчайшая между любыми двумя точками.

В общем случае между точками метрического пространства кратчайшей может не существовать, но даже если она существует, её длина может превосходить расстояние между концами.

Согласно лемма Гаусса, в римановом многообразии любая кратчайшая естественной параметризацией является геодезической.

Литература

Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. — Гостехиздат, 1955. — 104 с. — (Популярные лекции по математике). — 40 000 экз.