Параллельность

Паралле́льные прямы́е (от др.-греч. παράλληλος буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметрии — непересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Линейка для черчения параллельных прямых

Параллельность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ принято обозначать следующим образом: ${\displaystyle m\parallel n.}$

В евклидовой геометрии

На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными. Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности.

Свойства

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Замена пятого постулата контр-утверждением ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже) или к геометрии Римана (в зависимости от того, какое утверждение выбрано: можно провести больше одной прямой или ни одной).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • Соответственные углы — пара углов, расположенных в одной полуплоскости относительно секущей, вершина которых есть точки пересечения каждой из параллельных прямых с секущей, стороны углов лежат на соответствующей прямой и на секущей, причём только одна из них относительно «своей» прямой лежит по разные от этой прямой они равны (Рис.1).
  • Накрест лежащие углы — пара углов с вершинами в точках пересечения каждой из параллельных прямых с секущей и расположены по разные стороны от неё, причём стороны углов принадлежат параллельным прямым и секущей. Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
  • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}}$.	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1}}$.	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, ${\displaystyle \alpha +\delta _{1}=180^{\circ }}$.

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

1. Построение прямой ${\displaystyle a}$, относительно которой нужно построить параллельную прямую.
2. Построение прямой ${\displaystyle b}$, перпендикулярной прямой ${\displaystyle a}$ (см. построение перпендикуляра).
3. Построение прямой ${\displaystyle c}$, перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой ${\displaystyle a}$ (аналогично построению прямой ${\displaystyle b}$).

В стереометрии

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку ${\displaystyle C}$ вне данной прямой ${\displaystyle AB}$ проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих ${\displaystyle AB}$. Прямая ${\displaystyle CE}$ называется равнобежной прямой ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$, если:

1. точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AC}$;
2. прямая ${\displaystyle CE}$ не пересекает прямую ${\displaystyle AB}$, но всякий луч, проходящий внутри угла ${\displaystyle ACE}$, пересекает луч ${\displaystyle AB}$.

Аналогично определяется прямая, равнобежная ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

Свойства

• Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
  • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

• Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

См. также

• Параллельность плоскостей
• Антипараллельные прямые
• Перпендикулярность
• Ортогональность

Примечания

1. Параллельные прямые // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
2. Земляков А. Н. Аксиоматический подход к геометрии (тезисы) // Математическое образование. — 2001. — № 3(18). — С. 4-21.
3. Адамар Ж. Элементарная геометрия. — М., 1948. — С. 52.
4. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (Начальные понятия). — М.: Наука, 1965. — С. 259. — 376 с.
5. Математический справочник  (неопр.). Дата обращения: 8 июля 2016. Архивировано из оригинала 23 сентября 2016 года.