Рефлексивность

Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении ${\displaystyle R}$ с самим собой.

Формально, отношение ${\displaystyle R}$ рефлексивно, если ${\displaystyle \forall x\in X:\ (xRx)}$.

Свойство рефлексивности отношения при задании матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при задании отношения графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ на множестве ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \operatorname {id} _{X}=\{(x,x)|x\in X\}}$), то есть ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\subseteq R}$.

Если ${\displaystyle aRa}$ не имеет смысла, то отношение ${\displaystyle R}$ называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения ${\displaystyle R}$ определяется как: ${\displaystyle \forall x\in X:\ \neg (xRx)}$.

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества ${\displaystyle X}$, говорят, что отношение ${\displaystyle R}$ нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

Рефлексивные отношения:

• отношения эквивалентности:
  • отношение равенства (${\displaystyle =\;}$);
  • отношение сравнимости по модулю;
  • отношение параллельности прямых и плоскостей;
  • отношение подобия геометрических фигур;
• отношения нестрогого порядка:
  • отношение нестрогого неравенства (${\displaystyle \leqslant }$);
  • отношение нестрогого подмножества (${\displaystyle \subseteq }$);
  • отношение делимости (${\displaystyle \vdots }$).

Примеры антирефлексивных отношений

Антирефлексивные отношения:

• отношение неравенства (${\displaystyle \neq \;}$);
• отношения строгого порядка:
  • отношение строгого неравенства (${\displaystyle <\;}$);
  • отношение строгого подмножества (${\displaystyle \subset }$);
• отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.

См. также

• Корефлексивное отношение
• Самоподобие

Примечания

1. Капитонова Ю. В., Кривой С. Л., Летичевский А. А. Лекции по дискретной математике. — СПб., БХВ-Петербург, 2004. — ISBN 5-94157-546-7, с 20